BAB 4 : Aplikasi Integral Tertentu

4.1 Luas Antara Dua Kurva

A) Rangkuman Materi

1 Luas Antara \(y=f(x)\) dan \(y=g(x)\)

Definisi 4.1 (Rumus Luas)

Jika f dan g fungsi kontinu pada [a, b] dan jika f(x) ≤ g(x) untuk semua x dalam [a, b], maka luas daerah yang dibatasi bagian atas oleh y = f(x), bagian bawah oleh y = g(x), sisi kiri oleh garis x = a dan sisi kanan oleh garis x = b adalah

\( L = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx \) (1)

Pada kasus luas daerah yang dibatasi sumbu-x dan kurva y = f(x) dengan f(x) < 0 untuk a ≤ x ≤ b, luas daerahnya dirumuskan menjadi

\( L = -\int_a^b f(x)\,dx \)

2 Luas Antara \(x=f(y)\) dan \(x=g(y)\)

Definisi 4.2

Jika \(w\) dan \(v\) fungsi kontinu dan jika \(w(y) \leq v(y)\) untuk semua \(y\) di \([c, d]\), maka luas daerah yang dibatasi sebelah kiri oleh \(x = v(y)\), sebelah kanan oleh \(x = w(y)\), sebelah kanan oleh \(x = w(y)\), bawah oleh \(y = c\) dan atas oleh \(y = d\) adalah

\( L = \int_c^d [w(y) - v(y)]\,dy \)

Tips:

Arah arsiran	Batas integral	Variabel Fungsi	Integran	Luas
Vertikal	\(x_1 = b\) dan \(x_2 = a\)	\(x\)	batas atas \((f(x))\) - batas bawah \((g(x))\)	\(\displaystyle \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx\)
Horizontal	\(y_1 = d\) dan \(y_2 = c\)	\(y\)	batas kanan \((w(y))\) - batas kiri \((v(y))\)	\(\displaystyle \int_c^d [w(y) - v(y)]\,dy\)

B) Contoh Soal

1. Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh \(y = x^3 - 4x\), \(y = 0\), \(x = 0\), dan \(x = 2\).
Pembahasan:

Karena pada soal diketahui bahwa luas yang dicari dari \(x = 0\) sampai \(x = 2\), sehingga kita akan menggunakan arsiran vertikal (arsiran jalan dari kiri ke kanan).

\[ \begin{aligned} L &= \int_{0}^{2} \left[0 - (x^3 - 4x)\right]\,dx \\ &= \int_{0}^{2} \left[-x^3 + 4x\right]\,dx \\ &= \left[ -\frac{1}{4}x^4 + 2x^2 \right]_{0}^{2} \\ &= \left( -\frac{1}{4}(2)^4 + 2(2)^2 \right) - \left( -\frac{1}{4}(0)^4 + 2(0)^2 \right) \\ &= \left( -\frac{1}{4} \cdot 16 + 2 \cdot 4 \right) - (0) \\ &= (-4 + 8) \\ &= 4 \end{aligned} \] Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh \(y = x^3 - 4x\), \(y = 0\), \(x = 0\), dan \(x = 2\) adalah \(\boxed{4}\).

2. Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh \(y = \sqrt{x+2}\), \(y = x\), dan \(y = 0\).
Pembahasan:

Pada kasus grafik seperti ini, pilih arsiran (vertikal atau horizontal) yang menyebabkan perhitungannya lebih mudah. Jika menggunakan arsiran horizontal, batas bawah dan atas adalah grafik \(y = x\) (oranye) dan \(y = \sqrt{x+2}\) (hijau), dengan batas bawah \(y = 0\) dan batas atas \(y = 2\) (hasil dari \(x = 2\)).

Langkah pertama adalah mencari titik potong kedua kurva dan sumbu \(y\):
\[ \begin{aligned} y &= x \\ y &= \sqrt{x+2} \\ x &= \sqrt{x+2} \\ x^2 = x + 2 \\ x^2 - x - 2 = 0 \\ (x-2)(x+1) = 0 \\ x = 2 \quad \text{atau} \quad x = -1 \end{aligned} \] Karena \(x\) positif, ambil \(x = 2\), sehingga \(y = 2\).

Selanjutnya, ubah fungsi ke dalam variabel \(y\):
\[ \begin{aligned} y &= x \implies x = y \\ y &= \sqrt{x+2} \implies x = y^2 - 2 \end{aligned} \] Maka, luas daerah adalah: \[ \begin{aligned} L &= \int_{0}^{2} \left[ (y^2 - 2) - y \right]\,dy \\ &= \int_{0}^{2} (y^2 - y - 2)\,dy \\ &= \left[ \frac{1}{3}y^3 - \frac{1}{2}y^2 - 2y \right]_{0}^{2} \\ &= \left( \frac{1}{3}(8) - \frac{1}{2}(4) - 2(2) \right) - (0) \\ &= \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) \\ &= \frac{8}{3} - 6 \\ &= \frac{8 - 18}{3} \\ &= -\frac{10}{3} \end{aligned} \] Karena luas harus positif, ambil nilai mutlak:
\[ L = \left| -\frac{10}{3} \right| = \frac{10}{3} \] Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh \(y = \sqrt{x+2}\), \(y = x\), dan \(y = 0\) adalah \(\boxed{\dfrac{10}{3}}\).